Гоманівська траєкторія

    Гоманівська траєкторія. Мандруємо до Венери.

ЇЇ величність - ВЕНЕРА

Найменші енергетичні зусилля потрібні для запуску космічного корабля по напівеліптичній траєкторії, яку називають гоманівською або котангенціальною. 

Названа така орбіта на честь німецького вченого П.Гомана, який вперше запропонував їх. Запуски космічних кораблів  по гоманівських орбітах вимагають найменших затрат енергії, оскільки космічні кораблі в цьому випадку більшу частину часу здійснюють вільний рух в полі тяжіння Сонця. Саме тому оптимальними  міжпланетними траєкторіями космічних апаратів є напівеліптичні орбіти.

 Мандруємо до Венери

        1)    Радіус орбіти землі відомий і дорівнює R_з = 1 а.о. 

Радіус орбіти Венери  дорівнює  R_в = 0,72 а.о. 

Раді справедливості відзначу, що ми нехтуємо еліптичністю орбіт цих планет.  

Велика піввісь орбіти ракети дорівнюватиме наступному співвідношенню:

а_р  = (R_з + R_в)/2

        2)    Час польоту визначатимемо за третім законом Кеплера:

  t_p =T_p/2  = (a_p)^3/2/2 (років)

мал. 1

Яким має бути взаємне розміщення Венери та Землі в момент старту ракети та її фінішу?

Приймаючи орбіти Венери  та Землі коловими, знайдемо кутові швидкості руху планет навколо Сонця: 

 ω = 360°/Т, де Т – сидеричний період обертання навколо Сонця.

Кутова швидкість Венери дорівнює: ω_в = 360°/Т_в = 1,6°/за добу.

Кутова швидкість Землі  дорівнює:    ω_з = 360°/Т_з = 0,986°/за добу = 1°/за добу.

Оскільки тривалість польоту ракети від Землі до Венери триває 146 діб, то кут α в момент старту визначаємо так:

  α = 180 – ω_в N_p = 180 – 1.6·146 = 180 – 233,6 = -53,6°

Яким буде взаємне розташування Венери та Землі в момент приземлення на Венеру?

Оскільки за  N_p =146 діб космічний корабель  «проходить» кут 180°, а Земля відповідно обернеться на кут ω_з·N_p = 146°, то Венера в момент фінішу випереджатиме Землю на кут

   ϕ = 180° - ω_з N_p = 36°

Зауважу, що в момент старту космічного апарату, відстань від Землі до Венери по прямій дорівнює 120 млн км. Планету добре буде видно на вечірньому небі (саме тоді вона перебуває у найбільш східній елонгації). У момент фінішу ракети , Венеру видно вранці перед сходом Сонця. Лінійна відстань планети до Землі становитиме 90 млн км. Шлях, який пролітає ракета по напівелептичній орбіті, дорівнює 350 км.

Мандрівка на Венеру не буде завершеною до того часу, доки ми не повернемось назад. Отже виникає слушне запитання: 

як довго треба чекати на планеті (або її орбіті) сприятливої ситуації для повернення на Землю?

Очевидно, як видно з малюнків, для старту космічного апарату з Венери (чи з її орбіти), Земля повинна бути попереду планети на кут     ϕ = 36°.

мал. 2

Рівняння руху планети Земля:   ϕ_з  = ω_з ·t_p - 36° - 360°(к-1).

Рівняння руху планети Венера:   ϕ_в  = ω_в·t_p - 360°·k.

Але ϕ_з – ϕ_в = 36° - в момент старту  з Венери.

Підставляючи рівняння руху планет у останню формулу, знаходимо час очікування:

 t_o = (360 – 72)/( ω_в – ω_з ) ≈480 діб.

Отже повний час, затрачений на політ до Венери (або до орбіти Венери), очікування там сприятливої ситуації та повернення назад (повна тривалість експедиції)

T_експ = 2t_p  + t_o = 2·146 + 480 = 772 доби.

Доцільно прочитати:

• 1. Сонячна система.
• 2. Тривимірна модель Сонячної системи.
• 3. Наш дім - Сонячна система.
• 4. Кентаври.
• 5. Космічні швидкості.