Гоманівська траєкторія. Мандруємо до Марса.
 |
| Червона планета |
Найменші енергетичні зусилля потрібні для запуску космічного корабля по напівеліптичній траєкторії, яку називають гоманівською або котангенціальною.
Названа така
орбіта на честь німецького вченого П.Гомана, який вперше запропонував їх.
Запуски космічних кораблів по
гоманівських орбітах вимагають найменших затрат енергії, оскільки космічні кораблі
в цьому випадку більшу частину часу здійснюють вільний рух в полі тяжіння
Сонця. Саме тому оптимальними міжпланетними
траєкторіями космічних апаратів є напівеліптичні орбіти.
Мандруємо до Марса
1) Радіус орбіти Землі відомий і дорівнює Rз = 1 а.о.
Радіус орбіти Марса дорівнює Rм = 1,52 а.о.
В процесі розв’язку задачі знехтуємо еліптичністю орбіт цих планет.
Велика
піввісь орбіти космічного апарату дорівнюватиме наступному співвідношенню:
ар = (Rз + Rм)/2
2) Час польоту визначатимемо за третім законом Кеплера:
tp =Tp/2 = (ap)3/2/2
(років)
Яким має бути взаємне розміщення Марса та Землі в момент старту ракети та її фінішу?
Приймаючи орбіти Марса
та Землі коловими, знайдемо кутові швидкості руху планет навколо Сонця:
ω = 360°/Т, де Т – сидеричний період обертання навколо Сонця.
Кутова швидкість Марса дорівнює: ωм = 360°/Тм =
0,52°/за
добу.
Кутова швидкість Землі дорівнює:
ωз = 360°/Тз =
0,986°/за добу
= 1°/за
добу.
Оскільки тривалість польоту ракети від Землі до Венери
триває 259 діб, то кут α в момент старту визначаємо так:
α = 180 – ωм Np = 180 – 0,52·259 = 180 – 134,7 = 44°
Яким буде взаємне розташування Марса та Землі в момент приземлення на Червону планету?
Оскільки за Np =259 діб космічний корабель «проходить» кут 180°, а Земля відповідно
обернеться на кут ωз·Np = 255°, то Марс в момент приземлення апарату, відставатиме
від Землі на кут 75°
ϕ = 180° - ωз Np = -75°
Зауважу, що в момент старту космічного апарату, відстань від Землі до Марса
по прямій дорівнює 160 млн км. Планета, в момент старту експедиції, сходить
близько півночі, її добре буде видно вранці (вона перебуває в положенні,
близькому до західної квадратури). У момент приземлення , Марс видно на
вечірньому небі на кутовій відстані близько 68° від Сонця. Лінійна відстань від
Землі до Марса дорівнює 240 млн км. Шлях, який пролітає ракета по напівелептичній
орбіті, становить близько 500 км.
Мандрівка до Марса не буде завершеною до того часу, доки ми не повернемось
назад. Отже виникає слушне запитання:
як довго треба чекати на планеті (або її орбіті) сприятливої ситуації для повернення на Землю?
Очевидно, як видно з малюнків, для старту космічного апарату з Червоної
планети (чи з її орбіти), Марс повинен випереджати Землю на кут ϕ = 75°.
Рівняння руху планети Земля: ϕз = ωз ·tp - 360°·к.
Рівняння руху планети Марс: ϕм = ωм·tp - 75° - 360°·(k – 1).
Але ϕм – ϕз = 75° - в момент старту з Марса.
Підставляючи рівняння руху планет у останню формулу, знаходимо час
очікування:
to = (360 – 150)/( ωз
– ωм )
≈438 діб.
Отже повний час, затрачений на політ до Червоної планети (або до орбіти Марса),
очікування там сприятливої ситуації та повернення назад (повна тривалість
експедиції)
Tексп = 2tp + to =
2·259 + 438 = 956 діб.
Доцільно прочитати:
